1.4 DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS

DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD

Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a <> b cuando b < a =" b;"> b significa que a > b ó a = b.

Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.

propiedades básicas de las desigualdades

Si a, b y c son números reales entonces:

i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a <> b , a = b
ii) Propiedad aditiva: a < b =""> a + c <> 0 ⇒ ac <> bc
v) a ≠ 0 ⇒ a² > 0
vi) 1 > 0
vii) a <> -a
viii) a <> 0
ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos
x) ab <> 0 ⇒ 1/a >0
xii) a <> a+c <>

ejemplos

DESIGUALDADES LINEALES

mas ejemplos

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Otro tipo de desigualdades son aquellas en las que la variable está elevada al cuadrado. Para resolverlas se deja al lado derecho de la desigualdad únicamente con el valor de 0, si es que no está; despues de ello se factoriza la expresión del lado izquierdo ( si no se factoriza directamente use fórmula general ). Una vez factorizada la expresión del lado izquierdo, podemos tener las siguientes situaciones donde ( x+R1)( x-R2) son los factores.

a).- Si la desigualdad es del tipo "mayor que", ambos factores deben ser positivos o ambos negativos para que al multiplicarlos dé una cantidad positiva.

( x+R1 )( x+R2 )> 0

Si [(x+R1)>0 y (x+R2)>0]ó[(x+R1)<0>

b).- Si la desigualdad es del tipo "menor que" los factores deben ser de signo contrario, osea uno negativo y otro positivo.

( x + R1 )( x + R2 ) <>

Si [(x+R1)<0>0]ó[(x+R1)>0 y ( x + R2)<0]

Ejemplos:

(x)(x) - 9 > 0

( x - 3 )( x + 3 )>0

CASO 1

x - 3> 0 y x + 3 > 0

x > 3 y x > -3

Es el intervalo: ( 3, infinito )

CASO 2

x - 3 <>

x <>

Es el intervalo ( -infinito, -3 )

La solución total será la unión de las soluciones de los dos casos:

( - infinito, -3 ) U ( 3, infinito )