UNIDAD 2 FUNCIONES

SUBTEMAS

2.1 definición de una función

2.2 Representación de funciones (tablas, gráficas, formulas y palabras)

2.3 clasificación de las funciones por su naturaleza; algebraicas y tracendentes.

2.3.1 función polinomial

2.3.2 función racional

2.3.3 función raíz

2.3.4 función trigonométrica

2.3.5 función exponencial

2.3.6 función logarítmica

2.3.7 función definida parte por parte

2.3.8 función inversa

2.3.9 función implicita

2.4 clasificación de las funciones por sus propiedades

2.4.1 función creciente y descendiente

2.4.2 función par e impar

2.4.3 función simétrica

2.4.4 función periódica

2.5 operaciones con funciones y composicion de funciones

2.6 translacion de funciones

1.4 DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS

DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD

Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a <> b cuando b < a =" b;"> b significa que a > b ó a = b.

Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.

propiedades básicas de las desigualdades

Si a, b y c son números reales entonces:

i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a <> b , a = b
ii) Propiedad aditiva: a < b =""> a + c <> 0 ⇒ ac <> bc
v) a ≠ 0 ⇒ a² > 0
vi) 1 > 0
vii) a <> -a
viii) a <> 0
ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos
x) ab <> 0 ⇒ 1/a >0
xii) a <> a+c <>

ejemplos

DESIGUALDADES LINEALES

mas ejemplos

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Otro tipo de desigualdades son aquellas en las que la variable está elevada al cuadrado. Para resolverlas se deja al lado derecho de la desigualdad únicamente con el valor de 0, si es que no está; despues de ello se factoriza la expresión del lado izquierdo ( si no se factoriza directamente use fórmula general ). Una vez factorizada la expresión del lado izquierdo, podemos tener las siguientes situaciones donde ( x+R1)( x-R2) son los factores.

a).- Si la desigualdad es del tipo "mayor que", ambos factores deben ser positivos o ambos negativos para que al multiplicarlos dé una cantidad positiva.

( x+R1 )( x+R2 )> 0

Si [(x+R1)>0 y (x+R2)>0]ó[(x+R1)<0>

b).- Si la desigualdad es del tipo "menor que" los factores deben ser de signo contrario, osea uno negativo y otro positivo.

( x + R1 )( x + R2 ) <>

Si [(x+R1)<0>0]ó[(x+R1)>0 y ( x + R2)<0]

Ejemplos:

(x)(x) - 9 > 0

( x - 3 )( x + 3 )>0

CASO 1

x - 3> 0 y x + 3 > 0

x > 3 y x > -3

Es el intervalo: ( 3, infinito )

CASO 2

x - 3 <>

x <>

Es el intervalo ( -infinito, -3 )

La solución total será la unión de las soluciones de los dos casos:

( - infinito, -3 ) U ( 3, infinito )

1.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS REALES

A los números reales se les suele ubicar en una recta en la cual hay un punto fijo que es el cero, también llamado origen.

a partir del origen se marca una unidad de longitud consecutivamente en el sentido del eje, obtendremos una sucesión de puntos cuya distancia es sucesivamente 1,2,3,4,etc.

Estos puntos representan a los números naturales.

Los puntos que se obtienen al marcar la unidad en sentido opuesto representan a los números negativos.

Además si dividimos la unidad en partes iguales y la tomamos en algún sentido del eje obtendremos las fraciones ya sean números naturales o enteros negativos

NÙMEROS PERIÒDICOS

El numero periódico esta dentro de la clarificación de los números racionales caracterizado, por que tiene cifras después del punto decimal que se repiten indefinidamente, estas cifras se llaman periodo.

El periodo se puede expresar un arco arriba de las cifras que se repiten

ejemplo

1/3= 0.333333... se representa solo como 0.3

12/11=1.090909... es igual a 1.09

Existen dos tipos:

Numero periódico puro:

Se da cuando inmediata mente después del punto hay una o mas cifras periódicas.

0.66666...

Numero periódico mixto:

cuando la cifra periódica no esta inmediata mente después del punto decimal.

0.0109090909...

1.2 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1.2 Propiedades

Propiedad conmutativa

En una suma o multiplicacion el orden de los factores no altera el resultado.

ejemplo

a+b=b+a ò ab = ba

2+3 = 5 (2)(3)= 6

3+2= 5 (3)( 2)=6

Propiedad asociativa

se pueden hacer diferentes asociaciones al sumar y multiplicar y no se afecta el resultado

ejemplo

a+(b+c) = (b+c)+a ò a(bc) = (bc)a

2+(3+5)=(3+5)+2= 10 3(2*1)=(2*1)3

Propiedad de identidad

Identidad aditiva

Todo numero real sumado al cero se queda igual, el cero es la identidad aditiva

ejemplo

7+0= 7

Identida Multiplicativa

Todo numero multiplicado por 1 se queda igual, el uno es la identidad multiplicativa

ejemplo

7*1=7

Propiedad de inversos

suma

La suma de opuestos es cero

ejemplo

a+(-a)= 0 8+(-8)=0

Multiplicacion

El producto de reciprocos es 1

ejemplo

Propiedad distributiva

En una suma respecto a una multiplicacion el factor se distribuye a cada sumando

ejemplo

a(b+c)= ab+ac 2(x+8)= 2(x) + 2(8)

Este vídeo da una explicacion breve sobre los números naturales

1.1 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES

UNIDAD I. NÚMEROS REALES

1.1 Clasificación de los Números Reales

Números Naturales

Con ellos podemos contar nuestros libros, amigos, dinero, etc. Cuando tratamos de medir longitudes, pesos ó voltajes, los enteros son inadecuados. están demasiado espaciados para dar la suficiente precisión.

Números Racionales

Los números que se pueden escribir de la forma m/n donde m y n son enteros y n es diferente de cero.

Números Irracionales

No pueden escribirse como cociente de dos enteros.

Números Reales

Son el conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden medir longitudes, y el cero.

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